НА СТРАНИЦУ «ХУДОЖЕСТВЕННАЯ КРИТИКА И ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ»
Академик С.В. Заграевский
ПРИМЕНЕНИЕ К РЕЙТИНГОВАНИЮ ХУДОЖНИКОВ
СОВРЕМЕННЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНОК
Опубликовано в справочнике «Единый
художественный рейтинг», вып.
1.
Возможность точной оценки произведений искусства во все времена волновала искусствоведов. Предпринималось множество попыток математически оценить «качество», «художественную ценность», «общественную и гуманитарную значимость» как картин, скульптур и прочих произведений искусства, так и творчества того или иного художника.
Эта задача встала и перед создателями рейтинга художников.
Прежде чем перейти к содержательной части нашего исследования, необходимо констатировать: на сегодняшний день ни искусствоведение, ни математика, ни какая-либо иная научная дисциплина не располагают научно обоснованными и проверенными временем точными методами оценки произведений искусства.
Многочисленные западные рейтинги, основанные на стоимости работ художника, для крайне хаотичного российского художественного рынка не подходят.
Оценка профессионализма с точки зрения техники живописи (ваяния и т.п.) в ХХ веке потеряла свою универсальную шкалу и к таким распространенным современным видам искусства, как абстракционизм или концептуализм, неприменима. То же самое относится к таким сугубо искусствоведческим показателям, как построение композиции, характер мазка, лепки и т.п.
В итоге оценка произведения искусства носит исключительно ориентировочный характер.
При необходимости оценки творчества художника в целом, как явления в искусстве, задача еще более усложняется. Такие поддающиеся точной оценке (хотя бы теоретически) показатели, как количество публикаций, выставок, каталогов, почетные звания или премии, в современных условиях могут служить лишь вспомогательной информацией.
Статистические методы исследований, к которым прежде всего относится анализ опросов общественного мнения, могут помочь при оценке общественной значимости художника и его произведений, но не их значимости с точки зрения искусствоведения. Основной аргумент известен: искусство – не политика, здесь вопросы большинством голосов не решаются. Более того – ориентация исключительно на суждение непрофессиональной публики приводит к колоссальному количеству спекуляций на тему «художников, любимых народом». К тому же статистические данные легче всего поддаются подтасовке.
Итак, перед создателями рейтинга встала задача, невыполнимая ни точными, ни статистическими методами.
Для решения этой задачи необходимо использовать математико-эвристические методы. Общей характеристикой этих методов является применение математического аппарата системы анализа экспертных оценок в той или иной области знаний, не поддающейся систематизации при помощи точных математических методик.
В нашем случае такой областью знаний, требующей определенного вида систематизации, является изобразительное искусство.
Итак, ставим задачу: требуется, исходя из имеющейся информации о каждом художнике, определить его категорию и уровень в соответствии с «Положением о Рейтинговом центре Профессионального союза художников». Методика рейтингования может быть реализована в виде программы для ЭВМ.
2.
Для того, чтобы понять, какими математическими методами мы можем пользоваться, отвлечемся от вопросов искусствоведения и рассмотрим относительно недавний временной период – от середины 1970-х до начала 1990-х годов.
В это время эвристические (экспертные) методы стали с небывалой интенсивностью внедряться в самые разные области науки и техники. Перечислим лишь некоторые научные дисциплины: психология, метеорология, геология, управление экономическими системами, диспетчеризация авиационного, железнодорожного и автомобильного транспорта, прогнозирование развития научно-технического потенциала страны и регионов... Список можно продолжать очень долго – практически ни одна научная дисциплина, ни одна отрасль экономики не осталась «в стороне».
Дело в том, что в это время началась так называемая «автоматизация систем управления» – внедрение АСУ как на государственном и отраслевом уровнях, так и на большинстве крупных предприятий и учреждений. Как известно, в то время ЭВМ обладали несравненно меньшими возможностями, и разработчики АСУ столкнулись с серьезнейшей проблемой нехватки т.н. машинных ресурсов – быстродействия, оперативной памяти, объема дисков и т.п. Для сравнения с нашим временем скажем, что ресурсы даже т.н. «больших ЭВМ» (ЕС-1030, 1061 и пр.), занимавших огромные помещения, были на несколько порядков ниже, чем у современных переносных (!) компьютеров-«ноутбуков».
Такая острейшая нехватка машинных ресурсов не позволяла решать задачи точного расчета параметров любой крупной экономической или научной задачи. Существующие математические методы теоретически это делать позволяли, но практически расчет занимал от нескольких часов до нескольких суток, что делало нереальным гибкий (оперативный) пересчет при вводе новых параметров.
Говоря о точном расчете, мы имеем в виду методы «линейного программирования», «динамического программирования», «ветвей и границ» и пр. Все эти методы требуют многократного пересчета крайне громоздких матриц и цифровых массивов, причем увеличение размерности задачи требует увеличения необходимых машинных ресурсов в квадратической, а то и кубической зависимости.
Именно в этот период в целях экономии машинных ресурсов и получили широчайшее распространение эвристические (экспертные) методы расчетов. Формально говоря, основной целью любого эвристического метода является сокращение размерности и времени решения задачи благодаря «отсечению» заведомо неперспективных шагов. А определение перспективности того или иного шага производится, исходя из формализованной и предварительно обработанной информации, поступившей от экспертов – специалистов по данному вопросу.
Приведем наиболее известный пример – шахматную программу “Deep Blue”, выигравшую у Гарри Каспарова. Не следует думать, что в ней на каждом ходу применяется т.н. «перебор вариантов» – всех возможных в данной ситуации ходов, ответов на них, потом всех возможных следующих ходов, ответов на них и т.п. Такое «дерево перебора» заняло бы много часов даже для суперсовременной ЭВМ. На самом деле в программе “Deep Blue” производится анализ нескольких тысяч партий, сыгранных различными гроссмейстерами в самые разные времена (от Ласкера и Капабланки до самого Каспарова), и каждый ход ЭВМ делает с учетом их опыта. Это и есть один из методов экспертных оценок.
Исследования 1980–90-х годов показывали, что при моделировании крупных экономических систем экспертные методы оценок дают результаты, лишь на 5–7 % отклоняющиеся от теоретически возможного оптимального результата, при затратах машинных ресурсов на несколько порядков ниже. Сходные результаты были получены и во всех других дисциплинах, где в силу больших размерностей и сложности поставленных задач имевшиеся ЭВМ с точными методами расчета не справлялись. Подобная ошибка вычислений экспертными методами для большинства задач незначительна. 5–7-процентный разброс выходных характеристик в реальных системах сопоставим с разбросом исходных данных, то есть качество итогового решения на практике не уступает качеству решения, полученного точными математическими методами типа «динамического программирования».
В последние годы благодаря небывалому росту производительности ЭВМ начался обратный процесс: разработчики АСУ, не заботясь об экономии практически неисчерпаемых машинных ресурсов, все реже применяют экспертные методы и все чаще – точные, так как привлечение высококвалифицированных экспертов всегда сопряжено с дополнительными временными и финансовыми затратами. Но, как мы видели на примере и художественного рынка, и шахматной программы “Deep Blue”, и сейчас есть задачи, неразрешимые точными математическими методами.
Подытожим наш небольшой исторический обзор: для задач, где точные математические методы по тем или иным причинам неприменимы, имеются современные математико-эвристические методы, позволяющие получать высококачественные решения. Как мы вскоре увидим, не является исключением и задача, поставленная разработчиками рейтинга художников.
3.
Задача рейтингования художников относится к классу задач динамической многокритериальной оптимизации, так как необходимо привлечение множества конкурирующих критериев и учет динамики развития творчества художника в широком временном диапазоне.
Требуется построение математической модели этой задачи. Как мы показали, точные методы решения к ней неприменимы.
Прежде всего рассмотрим динамический характер задачи рейтингования. Современный подход к автоматизации всех областей науки и техники предусматривает переход от аналогового к цифровому (дискретному) представлению модели. Цифровое представление более универсально, легче реализуется на ЭВМ, а главное – не требует при моделировании громоздких тригонометрических формул, дифференциальных уравнений или преобразований Фурье.
Дискретизация динамики развития творчества художника для задачи рейтингования заключается в выделении значимых творческих периодов. Однако, вследствие невозможности сбора объективной информации обо всех этапах творчества каждого художника, целесообразно выделение в его творчестве периодов, совпадающих с наиболее значимыми периодами развития искусства с учетом страны и эпохи. Вопрос периодизации требует специального экспертного изучения в рамках отладки метода.
Обозначим порядковый номер каждого периода как i, его временные рамки как Т(i), систему «художник и его произведения» в период Т(i) как Х(Т(i)), а все множество художников, подлежащих рейтингованию, как СХ.
Таким образом, мы имеем дело с задачей пошагового моделирования динамической системы Х (Т), целью которой является определение рейтинга R – места художника в множестве СХ.
R=F(X(Т)), ХÎСХ
Профессором А.В.Ефремовым, научным руководителем кандидатской диссертации автора данного исследования, в семидесятые годы был разработан т.н. модельно-эвристический метод пошагового решения многокритериальных оптимизационных задач большой размерности, применимый к многим сферам науки и экономики.
Рассмотрим сущность модельно-эвристического метода.
Для оптимального (качественного) решения пошаговых задач достаточно принять оптимальное (качественное) решение на каждом шаге. На принятие решения на каждом шаге влияет ряд т.н. частных критериев.
Обозначим пространство частных критериев в виде массива К(j) и опишем его для нашей задачи рейтингования. Отметим, что критерии в массиве располагаются в случайном порядке, а не в порядке возрастания или убывания значимости.
Примерный список частных критериев по каждому художнику в каждый период i:
К(1): возраст;
К(2): наличие профессионального образования;
К(3): персональные выставки;
К(4): групповые выставки;
К(5): оценка искусствоведами;
К(6): каталоги и буклеты;
К(7): участие в крупных российских и зарубежных аукционах;
К(8): приобретение работ ведущими музеями;
К(9): приобретение работ через коммерческие галереи;
К(10): наличие почетных (академических) званий;
К(11): новаторство;
К(12): членство в Союзе Художников СССР;
К(13): членство в объединениях «ОСТ», «Группа 13-ти» и пр.;
К(14): степень подчинения творчества конъюнктуре рынка;
К(15): количество упоминаний в прессе;
К(16): цены на работы;
К(17): художественный уровень произведений;
К(18): общественная значимость произведений,
и т.д.
Недостатки «искусственного интеллекта» по сравнению с принятием решений человеком общеизвестны: это негибкость и отсутствие такого понятия, как интуиция. Но есть и определенное преимущество: в модели может учитываться широчайший набор критериев, которыми одновременно не пользуется ни один эксперт. Таким образом, сравнительная негибкость модели компенсируется расчетом большего числа параметров.
В условиях неполноты исходных данных те или иные частные критериальные функции могут использоваться не полностью. Но любой «искусственный интеллект» должен иметь потенциальную возможность учета всех необходимых критериев, которыми пользуются эксперты при принятии решения, поэтому список частных критериев подлежит постоянному расширению.
Далее на каждом шаге i частные критерии сводятся в один общий критерий OK(i):
OK(i)=V(1)K(1)+V(2)K(2)+…+V(j)K(j),
где V(j) – «веса» частных критериев, т.е. числовое выражение значимости того или иного критерия.
Это и есть универсальный вид критериальной функции модельно-эвристического метода, разработанного проф. А.В.Ефремовым.
Однако задача рейтингования является особым случаем задачи пошаговой оптимизации, так как высокий показатель ОК(i) в один из периодов творчества художника не является залогом высокого показателя ОК(i+1), т.е. в следующий период.
Поэтому требуется рассчитать ОК(i) для каждого периода i, а затем повторно применить модельно-эвристический метод для расчета итоговой критериальной функции FK по данному художнику Х:
FK(Х)=W(1)OK(1)+W(2)OK(2)+…+W(i)OK(i),
где W(i) – «веса» общих критериев для каждого временного периода i, т.е. числовое выражение значимости того или иного периода времени.
Остается разбить возможный диапазон значений FK(Х) на уровни и категории, приведенные в «Положении о Рейтинговом Центре Профессионального союза художников», и мы получим искомый R(X), ХÎСХ.
4.
Основной проблемой реализации модельно-эвристического метода для задачи рейтингования художников является нелинейный характер функции
К(j)=F(D),
где D – исходные данные по каждому из частных критериев оценки художника,
а также функции
W(i)=F(К(j)),
выражающей зависимость «весов» (значимости) того или иного временного периода в творчестве художника от параметров его творчества в этот период.
Функция К(j)=F(D) имеет для каждого j уникальный вид, непредставимый никакой универсальной математической формулой. Например, К(3) и К(4) (количество выставок) имеют вид простых натуральных чисел, К(2) (наличие профессионального образования) – вид булевой переменной (1 или 0), К(5) (оценка искусствоведов) может иметь форму выставленных баллов, а частный критерий К(16) (цены на работы) сам по себе является сложносоставной функцией, учитывающей множество параметров.
Но эта проблема характерна для любых применений модельно-эвристического метода, и стандартный подход, разработанный А.В.Ефремовым, предусматривает весьма эффективное решение этого вопроса: единственной (и легко разрешимой) проблемой является приведение всех элементов массива K(j) к числовому виду и придание им безэкстремумного характера, то есть функция К(j)=F(D) должна либо возрастать, либо убывать на всем диапазоне значений.
Дело в том, что, как мы видели, в критериальных функциях OK(i) частные критерии K(j) имеют «веса» V(j), которые позволяют «сглаживать» все противоречия между K(j) и сводить их в единой формуле. Все вопросы, связанные с размерностью, нелинейностью и «физическим смыслом» K(j), учитываются на следующем этапе модельно-эвристического метода – оптимизации «весов».
Перейдем к нелинейной функции W(i)=F(К(j)).
Эта функция, выражающая значения «весов» временных периодов творчества художника, в отличие от «весов» частных критериев V(j), уникальна и требует особого исследования. Например, для художников-авангардистов творчество в эпоху с начала шестидесятых до начала восьмидесятых годов было сопряжено с дополнительными трудностями, а для соцреалистов – с определенными преференциями, и отсюда следует нелинейность элементов
W(i)=F(К(12),К(14)),
где i находится в диапазоне значений, соответствующем эпохе с начала шестидесятых до начала восьмидесятых годов.
Подобная ситуация может иметь место во множестве случаев.
Эта проблема может привести к нестабильности работы модели, и ее необходимо разрешить.
Представим «классическую» форму записи итоговой критериальной функции
FK(Х)=W(1)OK(1)+W(2)OK(2)+…+W(i)OK(i)
в общем виде:
FK(X)=S W(i)ОК(i),
i
где S – суммирование всех элементов с индексом i.
i
В свою очередь,
OK(i)=S V(j)K(j).
j
Значит, FK(X)=S W(i) S V(j)K(i,j).
i j
Переход в нашей записи от одномерного массива K(j) к двумерному массиву (матрице) K(i,j) обусловлен тем, что в каждый временной период i значения частных критериев K(j) различны.
Внеся W(i) внутрь второго знака суммирования, мы получим:
FK(X)=S S W(i)V(j)K(i,j).
i j
Мы видим, что в этой формуле рядом оказались «веса» W(i) и V(j) – величины одинаковой природы. Назовем произведение W(i)V(j) обобщенным весовым параметром частного критерия K(i,j).
На каждом шаге i обобщенный весовой параметр имеет различные значения, приводящие к нестабильности работы модели в случае стандартного применения модельно-эвристического метода, где на каждом шаге весовые параметры должны быть одинаковыми.
Но мы можем успешно решить эту проблему, введя новую переменную для обобщенного весового параметра:
OV(i,j)= W(i)V(j).
Массив OV(i,j) получился двухмерным.
На первый взгляд задача становится более сложной. Но на самом деле отладка весовых параметров «ручными» способами была нереальна и для V(j), нам в любом случае потребуется использование ЭВМ, а в современных математических методах и их программных реализациях незначительное увеличение размерности массива (с одномерного до двухмерного) не создает проблем.
Самое главное, что нам удалось от сложных нелинейных функций W(i) перейти к числовой матрице OV(i,j).
Итак, мы пришли к главному элементу модельно-эвристического метода – определению конкретных значений обобщенных весовых показателей OV(i,j), от которых зависят значения и общих критериев ОК(i), и итогового критерия FK(Х), а, значит, и рейтинга художника – R(X).
5.
Для решения этой проблемы А.В.Ефремовым был разработан метод обобщения экспертных оценок и их математической формализации.
На этом этапе необходимо привлечение высококвалифицированных экспертов, а также проведение громоздких расчетов по одной из существующих точных оптимизационных методик (например, линейного программирования или метода ветвей и границ). Но это «обучение» требуется провести один раз при опытной эксплуатации математической модели.
В дальнейшем математическая модель обладает практически полной «самостоятельностью», высоким быстродействием и точностью, что отвечает всем требованиям, предъявляемым к «искусственному интеллекту». Проблема «интеллектуального старения модели» существует, но она вполне сопоставима с аналогичной проблемой для любого человеческого разума и, естественно, с той или иной степенью периодичности требует «повышения квалификации». В случае рейтингования художников эта задача упрощается благодаря наличию постоянно действующего Рейтингового Центра, в который входят ведущие российские искусствоведы.
Проблема «обучения искусственного интеллекта» требует отдельной постановки в рамках нашей задачи рейтингования: необходимо найти числовые значения обобщенных весовых показателей OV(i,j), выражающих значимость того или иного частного критерия K(i,j) в тот или иной временной период Т(i).
Проф. А.В.Ефремов разработал простой и эффективный алгоритм их поиска.
Перед экспертами, привлеченными на этапе «обучения», ставится задача моделирования реального объекта. У каждого специалиста могут быть свои методы ее решения, но для нас это непринципиально, так как модель в любом случае строится на основе модельно-эвристического метода, и для ее «обучения» важен только конечный результат работы экспертов.
В задаче рейтингования, после того как специалисты пришли к единым или схожим выводам по достаточно представительной выборке художников M), мы имеем начальную и конечную точки моделирования по каждому художнику Х: исходные данные D(Х) и конечный результат FKМ(Х). Можно просить экспертов оценивать творчество художников как в числовом виде (предварительно определив диапазон значений FKM), так и в виде рейтинговых категорий.
На этапе «обучения модели» большое значение имеет выбор наиболее квалифицированных экспертов и представительность выборки художников M. Как правило, привлекаются те художники, по которым эксперты имеют наиболее полный набор исходных данных D.
Итак, после проработки вопроса экспертами мы имеем в рамках представительной выборки М по каждому художнику Х(m) числовые значения FKМ(X) и исходные данные D(X).
Запишем универсальную формулу модельно-эвристического метода с учетом матрицы обобщенных весовых показателей:
FK(X)=S S ОV(i,j)K(i,j), mÎM.
i j
Представив K(i,j) как функцию F от исходных данных D, получим
FK(X(m))=S S ОV(i,j)F(D,i,j), mÎM.
i j
Мы получили задачу, готовую для решения на ЭВМ одним из многочисленных точных математических методов (например, динамического программирования или даже простого компьютерного перебора вариантов): необходимо определить значения матрицы обобщенных весовых параметров ОV, обеспечивающие (при заданных исходных данных D и заданном виде функций F) значения FK, совпадающие со значениями FKМ, определенными экспертами, по всей выборке художников М.
Теоретически возможна ситуация, когда не существует значений матрицы ОV, обеспечивающих решение задачи совпадения FK(Х) и FKM(Х) по всей выборке М. В этом случае имеется возможность выдачи 5–7-процентного допуска на расхождение этих величин.
В случае, если эксперты определяют не FKМ(X), а непосредственно рейтинг художника R(X), это адекватно выдаче аналогичного допуска, так как в множестве художников СХ, принимаемом за 100 %, выделяется 14 рейтинговых уровней и категорий. Допуск в этом случае составит:
100 / 14 : 2 = 3,5, т.е. плюс-минус 3,5%.
Если и выдача допуска не привела к положительному результату, это является либо сигналом для разработчиков о неверно определенном виде частных критериальных функций K(j), либо сигналом для экспертов о необъективности их суждений. В последнем случае эксперты корректируют свои решения относительно значений FKМ по выборке М, и программа «обучения модели» запускается заново.
Успешное решение задачи «обучения» дает нам матрицу весовых параметров ОV, которая в дальнейшем используется в реализации модельно-эвристического метода.
Таким образом, единожды потратив время и силы на экспертную оценку представительной выборки художников М и громоздкий расчет весовых параметров ОV точными математическими методами на ЭВМ, мы получаем отлаженную быстродействующую модель, работающую по каждому художнику Х(m), mÏM, в полном соответствии с принципами «искусственного интеллекта».
6.
Как известно, любой интеллект в условиях недостатка информации способен принимать решения, основанные на предыдущем опыте, хотя при этом качество принимаемых решений снижается в зависимости от степени недостатка информации. Посмотрим, можем ли мы реализовать этот принцип в условиях нашей модели – «искусственного интеллекта» рейтингования художников.
Пусть по художнику Х мы имеем неполный набор исходных данных ND. Неполнота может заключаться как в полном отсутствии данных за период i, так и в неполных данных, не позволяющих подсчитать один из частных критериев K(i,j).
В этом случае обнуляется один или несколько элементов суммирования
FK(X)=S S ОV(i,j)K(i,j),
i j
что не приводит к невозможности расчета рейтинга художника, но создает серьезную проблему при получении итогового результата.
Дело в том, что критерий FK имеет аппликативный характер, поэтому обнуление одного из элементов суммирования приводит к уменьшению значения суммы и, следовательно, к необоснованному занижению рейтинга художника. Предъявление к программе требования ввода абсолютно полных исходных данных по каждому художнику нереально.
Таким образом, мы пришли к необходимости решить задачу модельного достижения полноты множества исходных данных D, исходя из имеющегося неполного набора исходных данных ND, NDÎD.
Эта задача относится к классу задач аппроксимации экспериментальных данных.
Представим значения функции К(j)=F(D) на каждом шаге i в виде матрицы К(i,j), в который каждый элемент К(i,j)=F(D):
1 2 ...... j
1 К(1,1) К(1,2) ...... ......
2 К(2,1) К(2,2) ...... ......
… …. ….. ...... …..
i ...... ....... ..... K(i,j)
В случае неполного набора исходных данных ND мы получаем в этой матрице ряд нулевых элементов. Типичной следует считать ситуацию, когда вследствие отсутствия данных за тот или иной период творчества художника нулевыми будут целые строки i.
Предлагается проведение линейной аппроксимации по столбцам с использованием метода наименьших квадратов.
Суть метода заключается в следующем: величины K(i,j) в столбце с фиксированным номером j представляются в виде массива экспертных данных по периодам i творчества художника. На основе этих данных аналитически описывается линейная функция аппроксимации, а по формуле этой функции мы можем рассчитать модельное значение данных в любой период, по которому реальные данные отсутствуют.
Графически это можно представить следующим образом:
| K(i,j)
| * KЕ(i,j)
| * *
| *
| *
|___________________________
0 1 2 3 4 5 6 ………….. i
Значками «*» обозначены значения частных критериев KЕ(i,j), рассчитанные на основе имеющихся исходных данных ND. Видно, что в периоды с порядковыми номерами 3 и 5 эти значения отсутствуют и приняты равными нулю.
Требуется аналитически описать линейную функцию, график которой пройдет по возможности близко ко всем точкам «*». Тогда значения этой функции при i=3 и i=5 и будут аппроксимированными значениями К(3,j) и К(5,j).
Для получения формулы этой функции и применяется метод наименьших квадратов.
Общий вид любой линейной функции:
y=ax+b.
В нашем случае:
K(i,j)=аi+b.
Необходимо найти такие значения а и b, чтобы сумма отклонений всех значений функции от «*» была минимальной. Поскольку отклонения могут выражаться как положительными, так и отрицательными числами, мы перед суммированием возводим их значения в квадрат, откуда и произошло название метода – наименьших квадратов.
Итак, по каждому j значения а и b должны обеспечивать
min S (KЕ(i,j) – K(i,j))2 .
i
Известные нам значения KЕ(i,j) для метода наименьших квадратов выступают как массив констант с(i). Перепишем функцию, для которой требуется найти значения a и b, обеспечивающие ее минимум:
min S (с(i)-аi-b)2.
i
Эта задача решается одним из существующих точных методов, от линейного программирования до простого компьютерного перебора вариантов а и b, благо размерность этой задачи невелика.
После этого, подставляя любые значения i в функцию K(i,j)=аi+b, мы получаем аппроксимированные значения любых элементов столбца j, что нам и требовалось.
Размер столбца j (количество периодов творчества художника i) зависит от возраста, даты проведения первой выставки и ряда иных факторов. В любом случае принципы линейной аппроксимации диктуют следующее теоретическое ограничение: количество ненулевых элементов в каждом столбце не должно быть менее двух. В противном случае требуется ввод дополнительных исходных данных.
В случае, если творчество начинающего художника укладывается в один–два временных периода, мы имеем «вырожденную» матрицу, и проведение аппроксимации в этом случае неправомерно. По таким художникам для объективного рейтингования требуется максимально полный набор исходных данных.
Все материалы, размещенные на сайте, охраняются авторским правом.
Любое воспроизведение без ссылки на автора и сайт запрещено.
© С.В.Заграевский
НА СТРАНИЦУ «ХУДОЖЕСТВЕННАЯ КРИТИКА И ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ»